求由曲线 y^2 - 2y + x^2 = 0、y^2 - 4y + x^2 = 0、x = 0 和 y = x*sqrt(3) 所围成的图形面积 S。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出这两条曲线都是圆。 配方后，$x^2+y^2-2y=0$ 变成 $x^2+(y-1)^2=1$：圆心在 $(0,1)$、半径为 $1$ 的圆。同样，$x^2+y^2-4y=0$ 变成 $x^2+(y-2)^2=4$：半径 $2$，圆心 $(0,2)$。两个圆都过原点，并且都在原点处与 $x$ 轴相切。

2. 2

   化到极坐标。 令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，得到 $r^2-2r\sin\theta=0\Rightarrow r=2\sin\theta$，以及 $r^2-4r\sin\theta=0\Rightarrow r=4\sin\theta$。过原点的圆在极坐标下正好有这么干净的形式，这就是本题该用极坐标的原因。

3. 3

   把两条直线换成角度。 $x=0$ 就是射线 $\theta=\tfrac{\pi}{2}$。直线 $y=x\sqrt3$ 满足 $\tan\theta=\sqrt3$，所以 $\theta=\tfrac{\pi}{3}$。于是所求区域就是圆环扇形 $\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$，$2\sin\theta\le r\le 4\sin\theta$。

4. 4

   列出极坐标面积积分。 $S=\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2}\!\!\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} r\,dr\,d\theta=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{(4\sin\theta)^2-(2\sin\theta)^2}{2}\,d\theta=6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$。

5. 5

   用降幂公式。 $\sin^2\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}$，于是 $\displaystyle\int\sin^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}$。

6. 6

   代入上下限。 在 $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ 处：$\tfrac{\pi}{4}-0=\tfrac{\pi}{4}$。在 $\theta=\tfrac{\pi}{3}$ 处：$\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sin(2\pi/3)}{4}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$。两者之差为 $\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{8}$，再乘以 $6$ 就得到 $S=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}$。

7. 7

   数值验算。 $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}=1.570796+1.299038=2.869834$，而对 $6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$ 作辛普森数值积分得到 $2.869834$，六位小数完全吻合。