求 x² · sin(x) 从 x = 0 到 x = π 的定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   选 $u$ 的原则是让多项式的次数变小。 遇到多项式乘三角函数，永远把多项式取作 $u$：对它求导会降次，而 $\sin x$ 积分成 $-\cos x$，规模并不会变大。取

   $u=x^{2},\quad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx,\quad v=-\cos x$

   要是反过来选，次数只会越积越高，永远做不完。

2. 2

   做第一次分部积分。

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$

   剩下的积分次数从 $2$ 降到了 $1$，再来一次就能收尾。

3. 3

   对 $\int x\cos x\,dx$ 再做一次。 这次取 $u=x$、$dv=\cos x\,dx$，于是 $du=dx$，$v=\sin x$：

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$

   因此 $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x$。

4. 4

   写出完整的原函数。

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   （二次式正好做两次；一般地，$n$ 次多项式要做 $n$ 次。）

5. 5

   代入上下限。 在 $x=\pi$ 处，用 $\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$：

   $-\pi^{2}(-1)+0+2(-1)=\pi^{2}-2$

   在 $x=0$ 处，用 $\cos 0=1$、$\sin 0=0$：

   $0+0+2=2$

6. 6

   相减并检验。

   $\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx=\left(\pi^{2}-2\right)-2=\pi^{2}-4\approx 5.8696$

   用辛普森法做数值估计得到 $5.8696044011$，与 $\pi^{2}-4=5.8696044011$ 吻合 ✓。结果为正也是必然的：在 $[0,\pi]$ 上处处有 $\sin x\ge 0$。