求 2ˣ 在 x = 0 处的泰勒级数展开式。

Step-by-step solution

1. 1

   先把以 2 为底的幂换成以 e 为底。 反复对 $2^x$ 求导挺别扭，但任何指数式都可以借助 $a = e^{\ln a}$ 换到底 $e$ 上：

   $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$

   这样问题就化归成一条现成的级数了。

2. 2

   代入指数函数的级数。 因为对一切实数 $u$ 都有 $e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$，令 $u = x\ln 2$：

   $2^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}\,x^n$

3. 3

   用导数的定义核对一下系数。 麦克劳林系数是 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，而 $\frac{d^n}{dx^n}2^x = (\ln 2)^n 2^x$，在 $x = 0$ 处等于 $(\ln 2)^n$。再除以 $n!$，得到的正是同一批系数——捷径和定义结果一致。

4. 4

   把前几项写出来。 取 $\ln 2 \approx 0.6931472$：

   $2^x = 1 + 0.693147\,x + 0.240227\,x^2 + 0.055504\,x^3 + 0.009618\,x^4 + \cdots$

   $e^x$ 的系数只靠阶乘往下压，而这里的系数缩得更快，因为 $\ln 2 < 1$，每一项还额外多乘了一个小于 1 的因子。

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   说明收敛半径。 指数函数的级数对一切实数 $u$ 都收敛，而只要 $x$ 有限，$u = x\ln 2$ 就有限，所以收敛半径是无穷大：这个展开式对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都成立。

6. 6

   在 x = 1 处抽查。 把前八项加起来得 $1 + 0.693147 + 0.240227 + 0.055504 + 0.009618 + 0.001333 + 0.000154 + 0.000015 = 1.999999$，正如预期地收敛到 $2^1 = 2$。