设 S 是球面 x² + y² + z² = 2 的下半部分，取内侧定向。计算曲面积分 ∫∫ (x² + xz) dy dz + (y² + yz) dz dx + (2z² + 1) dx dy。

Step-by-step solution

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   把它读成通量。 这个积分就是 $\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$，其中 $\mathbf{F}=(x^2+xz,\;y^2+yz,\;2z^2+1)$。由于 $\Sigma$ 不是闭曲面，要用高斯公式就得先补一块盖子。

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   用一块平圆盘把曲面补闭合。 补上 $D:\{x^2+y^2\le 2,\ z=0\}$。$\Sigma$ 与 $D$ 合起来围成下半球体 $V$。在这个闭边界上，外法向在 $\Sigma$ 上朝下朝外，在 $D$ 上则朝上（$+\mathbf{k}$）。

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   用高斯公式。 $\nabla\cdot\mathbf{F}=(2x+z)+(2y+z)+4z=2x+2y+6z$。由于 $V$ 关于 $x$ 和关于 $y$ 都对称，$2x$ 和 $2y$ 这两部分积分为零，只剩下 $\iint_{\partial V,\text{外侧}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=6\iiint_V z\,dV.$

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   算剩下的三重积分。 用球坐标，$0\le\rho\le\sqrt2$，$\tfrac\pi2\le\varphi\le\pi$， $\iiint_V z\,dV=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{\sqrt2}\rho^3\,d\rho=2\pi\left(-\frac12\right)(1)=-\pi,$ 所以闭曲面的外侧总通量是 $6(-\pi)=-6\pi$。

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   减掉圆盘那一块。 在 $D$ 上 $z=0$，因此 $dy\,dz$ 与 $dz\,dx$ 两项都没有贡献，而第三个分量是 $2(0)^2+1=1$。向上的通量就等于圆盘面积：$\pi(\sqrt2)^2=2\pi$。于是穿过 $\Sigma$ 的外侧通量为 $-6\pi-2\pi=-8\pi$。

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   换到内侧。 题目要的是内侧定向，法向反过来： $\iint_{\Sigma,\text{内侧}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-(-8\pi)=8\pi.$ 所以空格里填 $8$。