计算定积分 ∫ sin²(x) cos⁴(x) dx，积分从 x = π/8 到 x = π/12。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意上下限是反着的。 下限 $\tfrac{\pi}{8}=0.3927$ 比上限 $\tfrac{\pi}{12}=0.2618$ 还大。而 $\sin^2x\cos^4x\ge 0$ 处处成立，所以结果注定为负：

   $\int_{\pi/8}^{\pi/12}=-\int_{\pi/12}^{\pi/8}$

   提前把符号判定下来，是对最终数值最省事的一道检验。

2. 2

   用倍角公式降幂。 两个指数都是偶数，所以该用的是降幂公式，而不是 $u$ 换元：

   $\sin^2x\cos^4x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{(1+\cos 2x)\left(1-\cos^2 2x\right)}{8}=\frac{\sin^2 2x+\sin^2 2x\cos 2x}{8}$

   这样拆是有意为之：前一块还要再降一次幂，后一块正好是标准的 $u$ 换元。

3. 3

   逐项求原函数。 前一块用 $\sin^2 2x=\tfrac{1-\cos 4x}{2}$，后一块令 $u=\sin 2x$，

   $\int\sin^2 2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 4x}{8},\qquad \int \sin^2 2x\cos 2x\,dx=\frac{\sin^3 2x}{6}$

   于是

   $F(x)=\frac{x}{16}-\frac{\sin 4x}{64}+\frac{\sin^3 2x}{48}$

4. 4

   在两个限处分别求值。 当 $x=\tfrac{\pi}{12}$：$\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$，$\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$，所以

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{192}-\frac{\sqrt3}{128}+\frac{1}{384}$

   当 $x=\tfrac{\pi}{8}$：$\sin\tfrac{\pi}{2}=1$，$\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$，于是 $\sin^3\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{4}$，

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{128}-\frac{1}{64}+\frac{\sqrt2}{192}$

5. 5

   相减，并把各项都通分到 384。

   $F\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right)-F\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right)=-\frac{\pi}{384}+\frac{7}{384}-\frac{3\sqrt3}{384}-\frac{2\sqrt2}{384}=\frac{7-\pi-3\sqrt3-2\sqrt2}{384}$

   数值上 $7-3.14159-5.19615-2.82843=-4.16617$，再除以 $384$ 得 $\approx -0.010849$ —— 正如颠倒的上下限所要求的那样是负的。把原被积函数在同一个反向区间上直接做数值积分，得到 $-0.0108494$ $\checkmark$。