求当 x 趋于无穷时 √(36x² + 7x + 49) − 6x 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先辨认未定式的类型。 当 $x\to\infty$ 时，根式的表现像 $\sqrt{36x^2}=6x$，所以这是两个都趋于无穷的量之差：

   $\sqrt{36x^2+7x+49}\to\infty,\qquad 6x\to\infty\;\Longrightarrow\;\infty-\infty$

   这种形式本身给不出值；不能因为「两者都像 $6x$ 那样增长」就断定差是 $0$，真正起作用的是修正项之差。

2. 2

   乘以共轭式。 对付「根式减一次式」的标准招数，就是乘以并除以这两块之和：

   $\sqrt{A}-6x=\frac{\left(\sqrt A-6x\right)\left(\sqrt A+6x\right)}{\sqrt A+6x}=\frac{A-36x^2}{\sqrt A+6x},\qquad A=36x^2+7x+49$

   分子里的根号被彻底消掉：

   $A-36x^2=7x+49$

3. 3

   分子分母同除以 $x$。 当 $x>0$ 时可以写成 $\sqrt{36x^2+7x+49}=x\sqrt{36+\tfrac{7}{x}+\tfrac{49}{x^2}}$，于是

   $\frac{7x+49}{\sqrt{36x^2+7x+49}+6x}=\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}$

   把 $x$ 从根号里提出来时取 $+x$（而不是 $-x$），只因为这里 $x\to+\infty$；若是 $x\to-\infty$，符号就要翻过来，答案也会完全不同。

4. 4

   逐块取极限。 每一个含 $\tfrac{1}{x}$ 的项都趋于零：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}=\frac{7}{\sqrt{36}+6}=\frac{7}{12}$

5. 5

   用数值和一般结论双重检验。 代大数进去：$x=10^4$ 时表达式为 $0.583739$，$x=10^6$ 时为 $0.583337$，正收拢到 $\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ $\checkmark$。另外有一个值得记住的速算结论：对 $\sqrt{a^2x^2+bx+c}-ax$（$a>0$），极限恒为 $\tfrac{b}{2a}$，这里就是 $\tfrac{7}{2\cdot 6}=\tfrac{7}{12}$。