解微分方程 d/dx(dy/dx) = e^y，也就是 y'' = e^y。

Step-by-step solution

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   先认出这是一个自治方程。 自变量 $x$ 并没有显式出现 —— 出现的只有 $y$ 及它的导数。对这类方程，标准做法是把 $y$ 而不是 $x$ 当作自变量，这样阶数就从二阶降到一阶。

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   作代换 $v=y'$，并对 $y$ 用链式法则。 把 $v$ 写成 $y$ 的函数，

   $y''=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}.$

   方程于是变成一阶可分离变量的方程

   $v\frac{dv}{dy}=e^{y}.$

   $v\,\frac{dv}{dy}$ 这个恒等式就是整套技巧的全部；少了它，代换 $v=y'$ 只会留下一个含三个变量的方程。

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   分离变量并积分，得到首次积分。 由 $v\,dv=e^{y}\,dy$：

   $\frac{v^{2}}{2}=e^{y}+C\;\Longrightarrow\;\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=2e^{y}+C_{1}.$

   这是一个守恒量 —— 力学上的类比就是质点在势 $-e^{y}$ 中的能量守恒。两边开方，

   $\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{2e^{y}+C_{1}}.$

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   再分离一次变量。 剩下的方程关于 $y$ 和 $x$ 是可分离的：

   $\int\frac{dy}{\sqrt{2e^{y}+C_{1}}}=\pm x+C_{2}.$

   当 $C_{1}=k>0$ 时，换元 $u=e^{y}$ 把左边化成 $\int\frac{du}{u\sqrt{2u+k}}$，这是一个标准形式，积出来是

   $\frac{1}{\sqrt{k}}\ln\left|\frac{\sqrt{2e^{y}+k}-\sqrt{k}}{\sqrt{2e^{y}+k}+\sqrt{k}}\right|=\pm x+C_{2}.$

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   反解成显式解。 把这个对数关系式解出 $y$，代数式会收拢成一个双曲正弦：

   $y=\ln\!\frac{C_{1}}{2}-2\ln\left|\sinh\!\left(\frac{\sqrt{C_{1}}\,(x-x_{0})}{2}\right)\right|,\qquad C_{1}>0,$

   其中 $x_{0}$ 把 $C_{2}$ 吸收了进去。退化情形 $C_{1}=0$ 更简单，值得单独写出来：

   $y=-2\ln\left|c-\frac{x}{\sqrt2}\right|.$

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   两种形式都做数值验证。 取 $C_{1}=1.5$、$x_{0}=0.3$：用二阶差分估计 $x=1.4$ 处的 $y''$ 得 $1.42404$，而 $e^{y}=1.42404$ ✓；在 $x=2.2$ 处得 $0.35950$，对应值也是 $0.35950$ ✓。再看 $C_{1}=0$ 这一支、取 $c=3$：$x=1$ 时 $y''=0.190210$，$e^{y}=0.190210$ ✓。两个解都会在对数内的表达式为零处发散，这不是算错 —— 解确实在有限的 $x$ 处就趋于无穷。