求 1/x 在 x = 0 处的泰勒级数，或说明它为什么不存在。

Step-by-step solution

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   先回忆泰勒级数需要什么。 展开式 $\sum_{n\ge0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 要求 $f$ 在中心 $a$ 处有定义，并且在那里各阶导数都存在。这两条要求说的都是 $a$ 这一个点——一个函数完全可以在附近表现良好，却仍然在这一点上不合格。

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   看看第一个系数就够了。 常数项是 $f(0) = \tfrac{1}{0}$，它没有定义。级数连开头都写不出来，所以 $1/x$ 在 $x = 0$ 处没有泰勒（麦克劳林）级数。

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   确认这个失败是本质的，而不是可去的。 $\lim_{x\to 0^{+}} \tfrac1x = +\infty$，而 $\lim_{x\to 0^{-}} \tfrac1x = -\infty$，所以无论在 $0$ 处补上什么值都救不回来。这是一个货真价实的 $1$ 阶极点，而不是 $\tfrac{\sin x}{x}$ 那种可去的空洞。

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   给出真正存在的那个展开。 允许出现负指数幂，就得到洛朗级数，而对这个函数来说它已经是最终形式了：

   $\frac{1}{x} = x^{-1}$

   在去心圆盘 $0 < |x| < \infty$ 上成立。只有一个 $x^{-1}$ 项、别的项都没有，这正是「在原点有一个一阶极点」的含义。

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   换一个合法的中心对比一下。 在 $a = 1$ 处这个函数完全解析：

   $\frac{1}{x} = \frac{1}{1 + (x-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n, \qquad |x-1| < 1$

   收敛半径 $1$ 恰好是中心 $1$ 到奇点 $0$ 的距离——这正是有理函数的泰勒级数能伸多远的一般规律。

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   把这个展开验算一下。 在 $x = 1.2$ 处，前六项给出 $1 - 0.2 + 0.04 - 0.008 + 0.0016 - 0.00032 = 0.83328$，正在向 $\tfrac{1}{1.2} = 0.8\overline{3}$ 收敛。