求当 x 趋于负无穷时，n 从 1 到无穷的 x^n/(n · n!) 之和的极限。

Step-by-step solution

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   先给这个和起个名字，并说明它处处收敛。 记

   $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,n!}$

   分母上的 $n!$ 让收敛半径成为无穷大，所以 $S$ 对每个实数 $x$ 都有定义，而且可以逐项求导。

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   求导，把碍事的因子 $n$ 消掉。

   $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n\,n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^{x}-1}{x}$

   $n$ 被约掉，剩下的级数就是指数级数减去它的 $n=0$ 项。正是这一步让整道题变得可做。

3. 3

   再积回去，用上 $S(0)=0$。 $S$ 的每一项在 $x=0$ 处都为零，所以

   $S(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt$

   被积函数在 $t=0$ 处表现良好，极限为 $1$，因此没有奇点要操心。

4. 4

   看看被积函数在很靠左的地方长什么样。 当 $t\to-\infty$ 时 $e^{t}\to 0$，于是

   $\frac{e^{t}-1}{t}\approx\frac{-1}{t}$

   它在 $t<0$ 时是正的，而且只以 $1/|t|$ 的速度衰减——太慢了，积分根本安定不下来。

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   断定这个积分发散。 把 $S(x)=-\int_{x}^{0}\frac{e^{t}-1}{t}dt$ 与 $\int_{x}^{0}\frac{-1}{t}dt=\ln|x|\to+\infty$ 相比较，可知积分无界增长，所以

   $\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\infty$

6. 6

   用数值确认这是对数级的速度。 直接对级数求和：$S(-10)=-2.8798$，$S(-20)=-3.5729$，$S(-30)=-3.9784$。渐近预测 $-\left(\ln|x|+\gamma\right)$（取 $\gamma=0.5772$）在 $x=-30$ 处给出 $-3.9784$ ✓——确实发散，但只是对数级的速度。