求 y = x^2 的导数。

Step-by-step solution

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   先认清函数的形式。 $y=x^2$ 是 $x$ 的一个幂，指数是常数，这正是幂函数求导法则适用的情形。不需要用乘法法则、商的法则或链式法则。

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   写出幂函数求导法则。 对任意常数指数 $n$，

   $\frac{d}{dx}x^n=n\,x^{\,n-1}$

   指数变成系数，新的指数比原来小 $1$。

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   取 n = 2 代入。

   $\frac{d}{dx}x^2=2\,x^{2-1}=2x^1=2x$

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   用导数的极限定义确认。 这里才看得出那个 $2$ 究竟从哪来：

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   令 $h\to0$ 就剩下 $2x$ ✓。二项展开里的交叉项 $2xh$ 正是这个系数的全部来源。

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   从几何上理解结果。 导数 $2x$ 说明这条抛物线在顶点 $x=0$ 处斜率为 $0$，顶点左侧为负、右侧为正，而且是线性增长的 —— 这与 $y=x^2$ 的形状一致。

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   抽查数值。 在 $x=2.5$ 处公式预测斜率为 $5$；对称差商 $\frac{f(2.5001)-f(2.4999)}{0.0002}=5.0000$ ✓。