求当 x 趋于 4 时 (√(x + 5) - 3)/(x - 4) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认它确实是 0/0 型。 在 $x=4$ 处，$\sqrt{9}-3=0$ 且 $4-4=0$。正因为这里根式恰好等于那个常数，共轭式这一招才管用——如果分子趋于一个非零的值，情况就完全不同了。

2. 2

   乘上共轭式。 分子分母同乘 $\sqrt{x+5}+3$，它在 $x=4$ 附近恒不为零。

3. 3

   化简分子。 $\left(\sqrt{x+5}\right)^2-3^2=(x+5)-9=x-4$，于是整个分式变成 $\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}$。

4. 4

   约分化简。 对 $x\neq 4$，它就是 $\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$，而这个函数在 $x=4$ 处是连续的。

5. 5

   代入求值。 $\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$。

6. 6

   数值检验。 在 $x=4+10^{-8}$ 处直接算原式，得到 $0.1666667$，与 $\frac{1}{6}$ 吻合。