x 关于 x 的不定积分等于 x²/2 吗？请说明理由。

Step-by-step solution

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   套用求原函数的幂函数法则。 对任意指数 $n\ne -1$，

   $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   这里 $x=x^{1}$，即 $n=1$，于是

   $\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C$

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   对结果求导来验证。 积分只有一种检验办法——把答案求导：

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2x}{2}=x\ \checkmark$

   所以 $\dfrac{x^{2}}{2}$ 确实是 $x$ 的一个原函数。题目给的式子与其说是错，不如说是不完整。

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   弄清 $+C$ 为什么不能省。 求导会把常数抹掉，所以对每一个实数 $C$ 都有

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x$

   比如 $\tfrac{x^{2}}{2}$、$\tfrac{x^{2}}{2}+7$、$\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{1}{3}$ 求导后都等于 $x$。只写出其中一个并称之为「那个」积分，等于悄悄丢掉了无穷多个同样成立的答案。

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   要知道 $C$ 已经把它们全都收进来了。 由拉格朗日中值定理可知，同一个函数在一个区间上的两个原函数之差必为常数，所以 $\tfrac{x^{2}}{2}+C$ 这一族不只是某些原函数——它是 $x$ 的全部原函数。而 $\int x\,dx$ 这个记号表示的正是这个意思。

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   留意常数真正消失的场合。 在定积分里这个常数会抵消：

   $\int_{0}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+C\right]_{0}^{3}=\left(\frac92+C\right)-\left(0+C\right)=\frac92$

   所以不定积分必须写 $+C$，而定积分里大可放心地把它略去。