求 y = x 的平方的导数。

Step-by-step solution

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   先把幂函数求导法则准确写出来。 对任意常数指数 $n$，

   $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}$

   这里同时发生两件事：原来的指数落到前面变成乘数，指数本身减一。

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   确定指数。 在 $y=x^2$ 里 $n=2$。没有系数需要带，也不需要链式法则，因为底数就是 $x$ 本身。

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   套用法则。

   $\frac{dy}{dx}=2x^{2-1}=2x^1=2x$

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   用定义确认一遍，别把法则当成死记的配方。 差商为

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   令 $h\to 0$ 得到 $2x$ —— 同样的答案，而且没有预设幂函数法则。

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   从图像上读出它的含义。 导数 $2x$ 就是抛物线的斜率：在 $x=3$ 处切线斜率为 $6$，在 $x=0$ 处是水平的（顶点），而当 $x<0$ 时斜率为负。所以离原点越远，陡峭程度就线性地增长。