用 f(x) = (64 + x) 的立方根在 x = 0 处的局部线性近似估算 62.5 的立方根，并把估计值与精确值比较。

Step-by-step solution

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   先想明白为什么函数写成 $\sqrt[3]{64+x}$ 而不是 $\sqrt[3]{x}$。 线性近似只在基点附近才准，而且只有基点处能精确求值时才有用。这里 $64$ 是完全立方数，$62.5$ 又离它很近，所以把变量平移一下，基点就落在 $x_0=0$，而 $f(0)=\sqrt[3]{64}=4$ 是精确已知的。

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   求导，并算出基点处的导数值。 把 $f(x)=(64+x)^{1/3}$ 写开，

   $f'(x)=\frac13(64+x)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(64+x)^2}}$

   $f'(0)=\frac{1}{3\cdot 64^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}$

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   写出线性化式子。 在 $x_0=0$ 处的切线是

   $L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=4+\frac{x}{48}$

   它说的是：被开方数有一个小变化 $x$，立方根大约变化 $x/48$。因子 $1/48$ 就是这个近似的全部内容。

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   选出能凑出所求数值的输入。 我们需要 $64+x=62.5$，所以

   $x=-1.5$

   $\sqrt[3]{62.5}\approx L(-1.5)=4+\frac{-1.5}{48}=4-0.03125=3.96875=\frac{127}{32}$

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   与精确值比较。

   $\sqrt[3]{62.5}=3.968503\ldots$

   $\text{绝对误差}=3.96875-3.968503=0.000247,\qquad\text{相对误差}\approx 0.0062\%$

   只求了一次导数，就换来前四位数字完全一致的结果。

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   解释误差的方向，这并不是偶然。 再求一次导，

   $f''(x)=-\frac{2}{9}(64+x)^{-5/3}<0$

   所以 $f$ 在 $x=0$ 附近是上凸的（凹向下），图像落在每一条切线下方。于是线性估计必然偏大——事实也正是 $3.96875>3.968503$。同样的推理还预言误差按 $\tfrac12|f''(0)|x^2$ 增长，对 $x=-1.5$ 约为 $0.00024$，与实测误差几乎分毫不差。