计算 ln x 关于 x 从 0 到 1 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   动手之前先看出这是个反常积分。 当 $x\to0^+$ 时 $\ln x\to-\infty$，所以被积函数在下端点无界。这个积分必须定义成一个极限：

   $\int_0^1\ln x\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\ln x\,dx$

   跳过这一步、直接把 $0$ 代进去，只会得到毫无意义的 $0\cdot\ln 0$。

2. 2

   用分部积分求原函数。 取 $u=\ln x$、$dv=dx$，于是 $du=\tfrac{dx}{x}$、$v=x$：

   $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C$

   之所以行得通，关键就在于选 $dv=dx$：它把 $\ln x$ 变成 $1/x$，随后正好被 $v=x$ 约掉。

3. 3

   在 $[a,1]$ 上求值。

   $\int_a^1\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_a^1=(0-1)-(a\ln a-a)=-1-a\ln a+a$

4. 4

   在奇异端点取极限。 唯一需要小心的是 $a\ln a$。把它写成 $\dfrac{\ln a}{1/a}$ 再用洛必达法则，得 $\dfrac{1/a}{-1/a^2}=-a\to0$。于是

   $\lim_{a\to0^+}\left(-1-a\ln a+a\right)=-1$

   被积函数虽然发散，积分却收敛——因为这个奇点只是对数型的，仍然可积。

5. 5

   检查符号和量级是否合理。 在 $(0,1)$ 上有 $\ln x<0$，所以答案是负数完全在意料之中。由此 $\ln x$ 在 $[0,1]$ 上的平均值就是 $-1$，而 $\ln x$ 恰好取到这个平均值的点是 $e^{-1}\approx0.368$——与图像相符 ✓。