求当 x 趋于 2 时 (4x² + 7x − 2)/(3x² + 8x + 2) 的极限。

Step-by-step solution

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   别的都先放一放，先在目标点上检查分母。 有理函数在分母不为零的地方处处连续，此时极限就等于函数值。所以第一个要问的是：$3x^2+8x+2$ 在 $x=2$ 处是不是零。

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   算分母。 $3(2)^2+8(2)+2 = 12+16+2 = 30 \neq 0.$ 既然不为零，就没有未定式——不需要因式分解、有理化，也用不着洛必达法则。

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   算分子。 $4(2)^2+7(2)-2 = 16+14-2 = 28.$

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   把商写出来。 $\lim_{x\to2}\frac{4x^2+7x-2}{3x^2+8x+2} = \frac{28}{30}.$

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   把分数约到最简。 $28$ 与 $30$ 有公因数 $2$，所以 $\frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0.9\overline{3}.$ 又因为 $14 = 2\cdot7$ 与 $15 = 3\cdot5$ 没有公因数，这已经是最简分数。

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   顺便看看什么时候代入法会失效。 分母的零点是 $x = \tfrac{-8\pm\sqrt{64-24}}{6} = \tfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3} \approx -0.2792$ 和 $-2.3874$。在这两个点上求极限就得另做一番功夫；而在 $x=2$ 处，函数表现得再规矩不过。