求 (x + 3) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   用和的法则把积分拆开。 积分是线性的，所以和式可以一项一项处理：

   $\int(x+3)\,dx=\int x\,dx+\int 3\,dx$

2. 2

   用幂函数法则积出一次项。 这里 $n=1$，所以 $n+1=2$：

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}$

3. 3

   积出常数项。 常数 $k$ 就是 $kx^0$，幂函数法则把它变成 $kx$：

   $\int 3\,dx=3x$

   直观地说：斜率恒等于 $3$ 的函数，就是一条斜率为 $3$ 的直线。

4. 4

   合并，只补一个积分常数。 反正两个各自的常数最后也会并成一个：

   $\int(x+3)\,dx=\frac{x^2}{2}+3x+C$

5. 5

   求导检验。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^2}{2}+3x+C\right)=x+3$ $\checkmark$。再做个数值检验：在 $x=1.3$ 处，$\tfrac{x^2}{2}+3x$ 的差商是 $4.300$，而被积函数是 $1.3+3=4.3$ $\checkmark$。