求 (x − 1) / (x² − 2x + 3)² 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先看分母底式的导数。 在动用部分分式之前，先对被平方的那个式子求导：

   $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)=2x-2=2(x-1)$

   分子 $x-1$ 恰好是它的一半。只要分子是内层导数的常数倍，换元就能一行解决这个积分——不用配方，也用不上反正切。

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   换元。 令

   $u=x^2-2x+3,\qquad du=2(x-1)\,dx\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,dx=\tfrac12\,du$

   整个 $(x-1)\,dx$ 一次性被替换掉，所以式子里不会残留任何 $x$。

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   把积分改写成 $u$ 的形式。

   $\int\frac{x-1}{(x^2-2x+3)^2}\,dx=\frac12\int \frac{du}{u^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du$

4. 4

   对幂函数积分。 用幂函数积分公式 $\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$，取 $n=-2$：

   $\frac12\int u^{-2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}$

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   换回原变量，并补上常数。

   $\int \frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^2-2x+3\right)}+C$

   分母 $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ 恒不为零，所以这个原函数在整个 $\mathbb{R}$ 上都成立。

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   求导确认。 记 $F(x)=-\tfrac12 u^{-1}$，

   $F'(x)=\tfrac12 u^{-2}u'=\frac{2x-2}{2\left(x^2-2x+3\right)^2}=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\;\checkmark$

   在 $x=2.5$ 处做数值检验，$F'(2.5)=0.08304498$，与被积函数完全吻合。