求 x 趋于负无穷时 1 除以 x 的平方的极限。

Step-by-step solution

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   注意偶次幂把符号抹掉了。 对每个 $x\neq 0$ 都有 $x^2>0$，所以 $x$ 是跑向 $+\infty$ 还是 $-\infty$ 毫无区别：分母两种情况下都是正的。这也正是这个极限必然与 $+\infty$ 处的极限相同的原因。

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   看出分母是无界增长的。 因为 $x^2=|x|^2$，而 $x\to-\infty$ 时 $|x|\to\infty$，所以

   $x^2\to+\infty$

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   套用「定值除以无界量」的法则。 分子始终是 $1$，分母却超过任何界限，于是这个商被挤向零：

   $\frac{1}{x^2}\to 0$

   说得更精确些：对任意 $\varepsilon>0$，只要 $|x|>1/\sqrt{\varepsilon}$ 就有 $1/x^2<\varepsilon$，这正是极限的严格表述。

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   用具体数字检验。 $x=-10$ 时：$1/100=0.01$。$x=-100$ 时：$1/10000=0.0001$。$x=-1000$ 时：$10^{-6}$。这些值不断缩向 $0$，而且始终为正。

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   记下答案，以及趋近的方向。 极限是 $0$，并且是从上方趋近的 —— 函数值从不为负，所以图像是从上面压向 $x$ 轴的。同样的论证还给出：对一切 $n>0$，都有 $\lim_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0$。