求下列极限：(1) x 趋于 3 时 √(x^2 + 6x - 2) 的极限；(2) x 趋于 3 时 (x^2 + 2x - 15)/(x - 3) 的极限；(3) x 趋于 4 时 (√x - 2)/(x - 4) 的极限。

Step-by-step solution

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   永远先试直接代入。 如果把目标值代进去能得到一个确定的数，而函数在那里又连续，那么这个数就是极限。只有当代入得到 $\tfrac00$ 这类不定式时，才需要接着做别的处理。

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   (1) 直接代入就成功了。 根号里的式子在 $x=3$ 处等于 $9+18-2=25>0$，而 $\sqrt{\ }$ 在被开方数为正的地方连续，所以

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{x^{2}+6x-2}=\sqrt{25}=5$

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   (2) 代入得 0/0，那就因式分解。 在 $x=3$ 处分子是 $9+6-15=0$，分母也是 $0$。由因式定理，$(x-3)$ 整除分子：

   $x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)$

   当 $x\neq 3$ 时公因式可以约掉；之所以约得心安理得，正是因为求极限从来不去计算函数在 $x=3$ 处的值：

   $\lim_{x\to 3}\frac{(x+5)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+5)=8$

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   (3) 代入得 0/0 且带根号，那就乘共轭式。 分子分母同乘 $\sqrt x+2$：

   $\frac{\sqrt x-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+2}=\frac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt x+2\right)}$

   这里用到了 $\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)=x-4$。

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   约分后代入。

   $\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{2+2}=\frac14$

   $\boxed{5,\qquad 8,\qquad \tfrac14}$

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   数值验证。 在 $x=3.001$ 处：$\sqrt{x^2+6x-2}=5.0012$，$\tfrac{x^2+2x-15}{x-3}=8.001$。在 $x=4.001$ 处：$\tfrac{\sqrt x-2}{x-4}=0.24998$。三个都在向所说的值靠拢。对 (3) 还可以再验一层：这个极限按定义就是 $\sqrt x$ 在 $x=4$ 处的导数，即 $\tfrac{1}{2\sqrt4}=\tfrac14$ ✓。