计算 4x + 5y − 19z 的三重积分，其中 z 从 7 到 1，y 从 4 到 2，x 从 3 到 2。

Step-by-step solution

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   先注意到每一重的积分限都是反的。 每个积分都是从较大的值积到较小的值。由于 $\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$，这里一共变号三次，而 $(-1)^{3}=-1$：整个答案就是「把所有积分限都改成从小到大」那个积分的相反数。你可以一开始就把三重限全部翻过来，也可以像下面这样原样小心地算下去。

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   先对 $z$ 积分，把 $x$ 和 $y$ 当常数。 关于 $z$ 的一个原函数是 $4xz+5yz-\tfrac{19}{2}z^{2}$，于是

   $\int_{7}^{1}\left(4x+5y-19z\right)dz=\left(4x+5y-\tfrac{19}{2}\right)-\left(28x+35y-\tfrac{931}{2}\right)=-24x-30y+456$

   次序不能乱：最内层的微元 $dz$ 要最先积，用的是最内层那一对积分限。

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   把结果对 $y$ 积分。 原函数取 $(-24x+456)y-15y^{2}$：

   $\int_{4}^{2}\left(-24x-30y+456\right)dy=\left(-48x+852\right)-\left(-96x+1584\right)=48x-732$

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   再对 $x$ 积分。 原函数取 $24x^{2}-732x$：

   $\int_{3}^{2}\left(48x-732\right)dx=\left(96-1464\right)-\left(216-2196\right)=-1368+1980=612$

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   解释一下符号。 在这个 $z$ 一直取到 7 的区域上，被积函数由 $-19z$ 主导，所以「积分限从小到大」的那个积分是很负的；三次反向把它翻成了正数。举例来说，如果只把 $z$ 的上下限翻过来，结果就会是 $-612$。

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   用数值黎曼和验算。 取带符号的步长 $dz=-6/120$、$dy=-2/120$、$dx=-1/120$，做一个 $120^{3}$ 的中点和，返回的正好是 $612.0$ ✓。之所以能精确吻合，是因为被积函数是线性的，中点法则对线性函数是精确的。