函数 f 二阶可导，且 f''(x) = 6x − 12。若 f 在 x = 1 处有驻点，那么 f 在 x = 1 处必定满足什么？

Step-by-step solution

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   先把「驻点」翻译成一个方程。 对可导函数而言，驻点就是导数为零的地方。这里不必担心尖点或竖直切线，因为 $f$ 是二阶可导的，于是

   $f'(1)=0$

   这一个事实，就是「驻点」这个说法能给你的全部信息。

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   把题给的二阶导数在该点求值。 题目直接把 $f''$ 交到手上了，所以不需要再求导：

   $f''(1)=6(1)-12=6-12=-6$

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   把 $f''(1)$ 的符号解读成凹凸性。 二阶导数为负，说明斜率在递减，所以图象在 $x=1$ 附近向下弯。既然 $f''(1)=-6<0$，曲线在 $x=1$ 处就是上凸的。

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   套用二阶导数判别法。 判别法说：若 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)>0$，该点是极小值点；若 $f'(c)=0$ 且 $f''(c)<0$，该点是极大值点；只有 $f''(c)=0$ 时判别法失效。这里第二种情形的两个条件都成立：

   $f'(1)=0\quad\text{且}\quad f''(1)=-6<0$

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   给出结论，并指出哪些东西并没有被确定。 $f$ 在 $x=1$ 处取极大值。注意 $f$ 本身只能确定到两个常数为止——连续积分两次得到 $f(x)=x^{3}-6x^{2}+C_1x+C_2$，条件 $f'(1)=0$ 定出 $C_1=9$，但 $C_2$ 仍然自由。所以 $f(1)$ 的具体值是未知的；被强制确定下来的只有这个点的类型。