解微分方程 dy/dx = ((2y + 3)/(4x + 5))²，并给出隐式形式的通解。

Step-by-step solution

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   挑方法之前先确认方程可分离。 把这个商平方之后，$y$ 的部分与 $x$ 的部分仍然分处两个因子里：

   $\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}},$

   这正是 $y'=g(y)h(x)$ 的形式。这里不需要积分因子——方程对 $y$ 并不线性，硬套线性微分方程那套机器只会失败。

2. 2

   分离变量。 两边除以 $(2y+3)^{2}$，再乘上 $dx$：

   $\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.$

   除以 $(2y+3)^{2}$ 会让你丢掉常数解 $y=-\tfrac32$，而它确实满足原方程（$y'=0$，右边同样是 $0$）。它是通解族之外的奇解，所以现在就先记下来。

3. 3

   $y$ 那一侧用换元 $u=2y+3$ 积分。 此时 $du=2\,dy$，即 $dy=\tfrac{du}{2}$，于是

   $\int\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(2y+3)}.$

   前面那个 $\tfrac12$ 来自链式法则；漏掉它是一次换元积分里最常犯的一个错。

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   $x$ 那一侧照样处理，取 $v=4x+5$。 这里 $dv=4\,dx$，所以

   $\int\frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\frac14\int v^{-2}\,dv=-\frac{1}{4v}=-\frac{1}{4(4x+5)}.$

   前面的常数是 $\tfrac14$，因为内层导数是 $4$，正合 $\int f(ax+b)\,dx=\tfrac1a F(ax+b)$ 这个套路。

5. 5

   合并两边并吸收常数。 让两个原函数相等，再加上一个任意常数：

   $-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.$

   两边乘以 $-2$ 并给常数改个名，就得到更清爽的隐式形式

   $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C,$

   因为 $\dfrac{2}{4(4x+5)}=\dfrac{1}{2(4x+5)}=\dfrac{1}{8x+10}$。

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   用隐函数求导来验证。 把 $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C$ 对 $x$ 求导：

   $-\frac{2y'}{(2y+3)^{2}}=-\frac{8}{(8x+10)^{2}}=-\frac{8}{4(4x+5)^{2}},$

   于是 $y'=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}}$ ✓。再做一次数值抽查：取 $C=0.3$，在 $x=1$ 处由隐式解算得 $y'=0.09765625$，由右端式算得也是 $0.09765625$。