求 −2x − 2y + 2 在区域 1 ≤ x ≤ 2、x ≤ y ≤ 3 上的二重积分。

Step-by-step solution

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   动手积分之前先把区域画出来。 条件 $1\le x\le 2$ 与 $x\le y\le 3$ 描述的是一条梯形带：在横坐标 $x$ 处竖着切一刀，这一刀从直线 $y=x$ 一直到直线 $y=3$，长度为 $3-x$，随着 $x$ 从 $1$ 走到 $2$，它由 $2$ 缩到 $1$。因为下限依赖 $x$，所以按这个次序必须先对 $y$ 积分。

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   把 $x$ 当成常数，先对 $y$ 积分。

   $\int_x^3\left(-2x-2y+2\right)dy=\left[-2xy-y^2+2y\right]_{y=x}^{y=3}$

   上限处 $y=3$ 给出 $-6x-9+6=-6x-3$；下限处 $y=x$ 给出 $-2x^2-x^2+2x=-3x^2+2x$。

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   相减这一步要格外小心。 下限的值是被整体减掉的，所以它里面每一项的符号都要翻过来：

   $(-6x-3)-\left(-3x^2+2x\right)=3x^2-8x-3$

   典型的错误就出在这儿——$-3x^2$ 前面那个负号一漏，最后的答案就变成正的了。

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   再把化出来的一元函数积掉。

   $\int_1^2\left(3x^2-8x-3\right)dx=\left[x^3-4x^2-3x\right]_1^2=(8-16-6)-(1-4-3)=-14-(-6)=-8$

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   说清楚为什么答案为负是对的。 被积函数 $2-2x-2y$ 在几乎整个区域上都是负的：在这条带子上 $x\ge 1$、$y\ge 1$，于是 $2-2x-2y\le 2-2-2=-2<0$。一个在区域上处处为负的函数，积分必然为负，所以 $-8$ 的符号没问题。量级也说得通：区域面积是 $\int_1^2(3-x)dx=\tfrac32$，被积函数的平均值约为 $-8/1.5\approx -5.3$，正落在它实际的取值范围（$-8$ 到 $-2$）之内。