计算 sin 括号内 (x 平方 + y 平方 + z 平方) 的 3/2 次幂的三重积分，积分区域是圆锥 z = 根号 3(x 平方 + y 平方) 与球面 z = 根号 (1 − x 平方 − y 平方) 之间的部分。

Step-by-step solution

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   先认出这个立体是什么。 下曲面 $z=\sqrt{3}\,r$（其中 $r^2=x^2+y^2$）是一个圆锥，上曲面 $z=\sqrt{1-r^2}$ 是上半单位球面。两者相交处满足 $\sqrt3\,r=\sqrt{1-r^2}$，即 $3r^2=1-r^2$，故 $r=\tfrac12$：这个区域就是圆锥与单位球面夹出的经典「冰淇淋筒」，投影下来是圆盘 $r\le\tfrac12$。

2. 2

   选球坐标，而不是柱坐标。 被积函数只依赖于 $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$，所以换成球坐标后它变成 $\sin(\rho^3)$——一个一元函数。若用柱坐标，留下的是拆不开的 $\sin\!\left((r^2+z^2)^{3/2}\right)$，这正是必须一路换到球坐标的原因。

3. 3

   把圆锥化成一个固定的极角。 在圆锥上 $\tan\varphi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{1}{\sqrt3}$，所以 $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$。于是这个立体可写成 $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6},\qquad 0\le\theta\le2\pi,$ 体积元为 $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$。

4. 4

   把三重积分拆成三个一元积分。 $I = \int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi/6}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1}\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho.$ 现在每个因子都只含一个变量。

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   逐个因子求值。 $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$；$\int_0^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\tfrac{\pi}{6} = 1-\tfrac{\sqrt3}{2}$；再令 $u=\rho^3$，$du=3\rho^2 d\rho$，得 $\int_0^1\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho = \frac13\int_0^1\sin u\,du = \frac{1-\cos 1}{3}.$ 体积元里带来的那个 $\rho^2$，正是这个换元能奏效的关键。

6. 6

   相乘并核对。 $I = 2\pi\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\frac{1-\cos 1}{3} \approx 2\pi(0.133975)(0.153233) \approx 0.128989.$ 对原来的柱坐标形式做嵌套数值积分，得到 $0.1289892138$，两者在九位小数上完全吻合。