求 y = (x − 1)^x 的导数。

Step-by-step solution

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   先弄清常规法则为什么失效。 幂函数法则 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ 要求指数是常数，指数函数法则 $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ 要求底数是常数。这里底数 $x-1$ 和指数 $x$ 都在变，两条法则都用不上，硬凑只会得到荒唐的结果。正确的办法是对数求导法。

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   先把定义域交代清楚。 要让 $(x-1)^x$ 作为指数可变的实数幂有意义，底数必须为正：

   $x-1>0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x>1$

   下面的推导都在 $(1,\infty)$ 上成立，而这也正好是 $\ln(x-1)$ 有意义的范围。

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   两边取自然对数。 对数能把指数搬下来变成系数，这正是这一步的用意：

   $\ln y=\ln\bigl((x-1)^x\bigr)=x\ln(x-1)$

   右边现在只是两个常见函数的普通乘积。

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   两边对 $x$ 求导。 左边 $y$ 是 $x$ 的函数，由链式法则得到 $\frac{1}{y}\,y'$ —— 隐函数求导就是在这里进来的。右边用乘积法则：

   $\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x-1)\bigr)=1\cdot\ln(x-1)+x\cdot\frac{1}{x-1}$

   于是

   $\frac{y'}{y}=\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}$

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   解出 $y'$，再把原函数代回去。 两边同乘 $y$，并把 $y=(x-1)^x$ 代回：

   $\boxed{\,y'=(x-1)^x\left(\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}\right)\,}$

   答案里必然含有原式作为因子 —— 这是对数求导法的典型特征，把前面的 $(x-1)^x$ 漏掉是最常见的错误。

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   数值验算。 在 $x=3$ 处，公式给出 $2^3\left(\ln 2+\tfrac{3}{2}\right)=8(0.6931+1.5)\approx 17.545$。对 $(x-1)^x$ 在 $x=3$ 处取 $h=10^{-6}$ 算中心差商，得到 $17.5452$，说明导数没算错。同样的套路对任意 $f(x)^{g(x)}$ 都适用：它的导数是 $f^g\left(g'\ln f+\frac{gf'}{f}\right)$。