计算 x cos(x + y) 在顶点为 (0, 0)、(π, 0) 和 (π, π) 的三角形区域上的二重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   把三个顶点翻译成边界方程。 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$ 的那条边在 $y=0$ 上；从 $(\pi,0)$ 到 $(\pi,\pi)$ 的那条边是竖直线 $x=\pi$；从 $(0,0)$ 到 $(\pi,\pi)$ 的那条边是直线 $y=x$。所以这个三角形就是满足 $0\le x\le\pi$ 且 $0\le y\le x$ 的点集。

2. 2

   选 $dy\,dx$ 这个次序。 先对 $y$ 积分，能让 $x$ 的积分限保持为常数（从 $0$ 到 $\pi$），而 $y$ 的上下限就是两个简单函数 $0$ 和 $x$。还有一个好处：内层积分时 $x$ 是常数，因子 $x$ 可以直接提到积分号外：

   $\int_0^\pi\!\!\int_0^x x\cos(x+y)\,dy\,dx.$

3. 3

   做内层积分。 $x$ 固定时 $\int\cos(x+y)\,dy=\sin(x+y)$：

   $x\Big[\sin(x+y)\Big]_{y=0}^{y=x}=x\big(\sin 2x-\sin x\big).$

4. 4

   用分部积分处理 $\int_0^\pi x\sin 2x\,dx$。 取 $u=x$、$dv=\sin 2x\,dx$，则 $du=dx$、$v=-\tfrac{\cos 2x}{2}$：

   $\left[-\frac{x\cos 2x}{2}\right]_0^\pi+\frac12\int_0^\pi\cos 2x\,dx=-\frac{\pi}{2}+\left[\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi=-\frac{\pi}{2}.$

5. 5

   用同样的办法处理 $\int_0^\pi x\sin x\,dx$。 取 $u=x$、$v=-\cos x$：

   $\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi.$

6. 6

   把两块合起来。 外层积分就是这两个结果之差：

   $\iint_R x\cos(x+y)\,dA=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712.$

   结果为负也在意料之中：在这个三角形的大部分区域上，$x+y$ 落在 $\tfrac{\pi}{2}$ 与 $\tfrac{3\pi}{2}$ 之间，那里 $\cos(x+y)$ 为负，而权重 $x$ 恰好在那里最大。数值积分给出 $-4.71239$，与 $-\tfrac{3\pi}{2}$ 吻合。