求当 x 趋于 2 时 (1 + (x³ − 8)/(4x − 8)) 的 2x 次幂的极限。

Step-by-step solution

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   动手之前先判断这是什么型。 在 $x=2$ 处分式 $\frac{x^3-8}{4x-8}$ 是 $\frac00$ 型，所以底数并不显然等于 $1$——这未必是 $1^\infty$ 的情形。先把里面的分式化简，是什么型自然就露出来了。

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   分子分母分别因式分解。 分子是立方差：$x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$。分母是 $4x-8 = 4(x-2)$。在趋近过程中公因式 $x-2$ 不为零（我们从来不在 $2$ 这一点取值），所以可以约掉：$\frac{x^3-8}{4x-8} = \frac{x^2+2x+4}{4}.$

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   把底数重新拼起来。 $1+\frac{x^2+2x+4}{4} = \frac{4+x^2+2x+4}{4} = \frac{x^2+2x+8}{4}.$

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   分别求底数和指数的极限。 现在两者在 $x=2$ 处都连续。底数：$\frac{4+4+8}{4} = \frac{16}{4} = 4$。指数：$2x = 4$。所以整体是 $4^4$ 这种普通的确定型——不是 $1^\infty$，也就不需要取对数或凑 e 的那套技巧。

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   算出结果。 $\lim_{x\to2}\left(1+\frac{x^3-8}{4x-8}\right)^{2x} = 4^4 = 256.$

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   数值确认。 在 $x=2.0001$ 处，表达式的值是 $256.109$；在 $x=1.9999$ 处则略小于 $256$——从两侧同时逼近 $256$。