交换积分次序来计算三重积分：z 从 0 到 3 − 3x − y，y 从 0 到 3(1 − x)，x 从 0 到 1，要求先对 y、再对 x、最后对 z 积分。

Step-by-step solution

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   别盯着积分限，先用不等式把这块立体描述出来。 由内向外读这三重积分限：

   $0\le z\le 3-3x-y,\qquad 0\le y\le 3-3x,\qquad 0\le x\le 1.$

   三者可以合并成一个对称的描述

   $x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad 3x+y+z\le 3,$

   这是一个以 $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(0,3,0)$、$(0,0,3)$ 为顶点的四面体。

2. 2

   为新的次序确定最外层变量。 题目要求的次序是 $dy\,dx\,dz$，所以最外层是 $z$。把这个四面体投影到 $z$ 轴上，得到 $0\le z\le 3$。

3. 3

   固定 z，求 x 的范围。 固定住 $z$ 后，这一层切片是 $\{3x+y\le 3-z,\ x,y\ge 0\}$。令 $y=0$ 可得 $x$ 能取到的最大范围：

   $0\le x\le \frac{3-z}{3}.$

4. 4

   再把 z 和 x 都固定，读出 y 的范围。 由 $3x+y\le 3-z$ 得

   $0\le y\le 3-z-3x,$

   所以换序之后的积分是

   $\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{(3-z)/3}\int_{y=0}^{3-z-3x}dy\,dx\,dz.$

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   由内向外逐层算。 最内层积分给出 $3-z-3x$。接着

   $\int_{0}^{(3-z)/3}\left(3-z-3x\right)dx=\left[(3-z)x-\tfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{(3-z)/3}=\frac{(3-z)^{2}}{3}-\frac{(3-z)^{2}}{6}=\frac{(3-z)^{2}}{6}.$

   最后

   $\int_{0}^{3}\frac{(3-z)^{2}}{6}\,dz=\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{3}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.$

6. 6

   用几何方法核对。 被积函数恒为 $1$，所以答案就是三条棱两两垂直、长度分别为 $1$、$3$、$3$ 的那个四面体的体积：

   $V=\frac{1}{6}(1)(3)(3)=\frac{3}{2}.$

   两条路径结果一致，说明换序做对了。