设 f(x) = x² + 2x − 3（当 x < 2），f(x) = ax + 1（当 x ≥ 2）。求使 f 在 x = 2 处连续的 a 的值。

Step-by-step solution

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   先写清「在一点连续」到底要求什么。 函数在 $x=2$ 处连续，当且仅当下面三者都存在且相等：

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x)$

   两段各自都是多项式，在自己那一侧本来就连续；唯一可能出问题的地方，就是接缝 $x=2$ 处对不上。

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   用第一段算左极限。 当 $x<2$ 时表达式是 $f(x)=x^2+2x-3$，它是多项式，所以极限就等于它在 $2$ 处的值：

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2(2)-3=4+4-3=5$

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   用第二段算函数值和右极限。 第二段适用于 $x\ge 2$，所以 $f(2)$ 和右极限都由它给出：

   $f(2)=2a+1,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=2a+1$

   因为不等号写的是 $x\ge 2$ 而不是 $x>2$，函数在接缝处本来就有定义——这里没有「空洞」要补，只有一个「跳跃」要合拢。

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   令两边相等并求解。 连续性要求

   $2a+1=5\qquad\Longrightarrow\qquad 2a=4\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a=2}$

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   把函数重写一遍来验证。 取 $a=2$，

   $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<2\\ 2x+1, & x\ge 2\end{cases}$

   从左边逼近：$f(1.99)=4.9401$；从右边逼近：$f(2.01)=5.02$；而 $f(2)=5$。图象接得上，没有跳跃。要注意这里做到的仅仅是连续：在 $x=2$ 处左导数是 $2x+2=6$，右导数是 $2$，所以图象在那里仍有一个尖角——没有任何 $a$ 能让它可导。