求 x²y + y·sin(x) 对 x 的偏导数。

Step-by-step solution

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   先弄清「对 $x$ 求偏导」是什么意思。 出现的每一个 $y$ 都被冻结，就当它是个数。于是 $y$ 在两项里都只是常数系数，任何地方都用不上乘积法则 —— 这正是这类题最常见的自找麻烦之处。

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   对第一项求导。 $y$ 是常数时，$x^2y$ 就是 $y$ 乘 $x^2$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y\right)=y\cdot 2x=2xy$

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   对第二项求导。 $y$ 同样只是个常数倍数，而 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$：

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(y\sin x\right)=y\cos x$

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   把两个结果相加。

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y+y\sin x\right)=2xy+y\cos x=y\left(2x+\cos x\right)$

   把 $y$ 提到括号外面，结构就一目了然：整个函数就是 $y$ 乘上一个只含 $x$ 的函数。

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   用差商验算。 取 $x=1$、$y=3$。公式预测 $3(2+\cos 1)=3(2+0.540302)=7.620907$。数值上取 $h=10^{-5}$，

   $\frac{f(1.00001,3)-f(0.99999,3)}{2\times 10^{-5}}=7.620907$

   两者到小数点后六位完全吻合。作为对照，$\partial/\partial y$ 会是 $x^2+\sin x$ —— 一个完全不同的表达式，这也正是为什么必须交代清楚是对哪个变量求导。