求 xyz 在 0 ≤ z ≤ 3 且 x² + y² ≤ z 所确定的立体区域上的三重积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把这个立体描述清楚。 条件 $x^{2}+y^{2}\le z$ 把点限制在抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的内部，而 $z\le 3$ 用一个平面把它盖住。在高度 $z$ 处横截面是半径 $\sqrt z$ 的圆盘，所以这个立体是一个深 $3$、顶面半径 $\sqrt3$ 的碗。

2. 2

   换到柱坐标。 取 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$dV=r\,dz\,dr\,d\theta$，

   $xyz=r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot z,$

   于是

   $\iiint_E xyz\,dV=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3} r^{3}z\cos\theta\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.$

3. 3

   注意这个积分是可以分离的。 积分限里没有任何一处依赖 $\theta$，而被积函数对 $\theta$ 的依赖只有 $\cos\theta\sin\theta$ 这一个因子。因此整个三重积分分解为

   $\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3}r^{3}z\,dz\,dr\right).$

   动手算之前先查一查有没有这种结构，能把整个径向计算全部省掉。

4. 4

   算角向的那个因子。 用 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$，

   $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 2\theta}{2}\,d\theta=\left[-\frac{\cos 2\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=-\frac14+\frac14=0.$

5. 5

   下结论，并从几何上看清原因。 既然第一个因子是 $0$，第二个因子又是有限的，整个积分就是

   $\iiint_E xyz\,dV=0.$

   原因在于对称性：立体在 $x\mapsto-x$ 下保持不变，而 $xyz$ 却要变号，于是各点的贡献两两抵消。在该区域上做数值三重求积返回 $-9.6\times10^{-16}$，也就是在机器精度意义下的零。