求 1/x² − 1/(3√x) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两项都改写成 $x$ 的幂。 根号和倒数不消掉，幂函数法则就没法用：

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2},\qquad \frac{1}{3\sqrt x}=\frac13x^{-1/2}$

   这道题的胜负其实就在这一步转换上；之后的全是机械操作。

2. 2

   积分 $x^{-2}$。 指数加一得到 $-1$：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   这里能用幂函数法则，是因为新指数不是 $-1$；只有 $\int x^{-1}dx$ 才需要换成对数。

3. 3

   积分 $\tfrac13x^{-1/2}$。 给 $-\tfrac12$ 加一得到 $+\tfrac12$：

   $\int\frac13x^{-1/2}dx=\frac13\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}x^{1/2}=\frac23\sqrt x$

   除以 $\tfrac12$ 相当于把系数翻倍，这就是 $\tfrac13$ 变成 $\tfrac23$ 的原因。

4. 4

   带上减号，并只写一个积分常数。

   $\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\right)dx=-\frac1x-\frac23\sqrt x+C$

5. 5

   求导验证。

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}-\frac23x^{1/2}+C\right)=x^{-2}-\frac23\cdot\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\;\checkmark$

   注意定义域：被积函数中的根号要求 $x>0$，所以这个原函数在 $(0,\infty)$ 上才有效。