求 1/Γ(3/5) 乘以 n 从 1 到无穷的 (1/10) 的 (8n/5 + 1) 次方除以 Γ(8n/5 + 1) 之和，保留六位有效数字。

Step-by-step solution

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   先认出级数的形状。 通项 $\dfrac{z^{\alpha n+1}}{\Gamma(\alpha n+1)}$（其中 $z=\tfrac{1}{10}$、$\alpha=\tfrac85$）是 Mittag-Leffler 型的。它没有初等闭式，所以实用的路线是数值求和——而且因为 $z<1$、$\Gamma(\alpha n+1)$ 又是超指数增长，真正有分量的只有寥寥几项。

2. 2

   算 $n=1$ 那一项。 指数是 $\tfrac85(1)+1=2.6$，所以该项为 $\dfrac{10^{-2.6}}{\Gamma(2.6)}=\dfrac{2.511886\times10^{-3}}{1.4296246}=1.757025\times10^{-3}$。

3. 3

   算 $n=2$ 和 $n=3$ 两项。 $n=2$ 时指数是 $4.2$：$\dfrac{10^{-4.2}}{\Gamma(4.2)}=\dfrac{6.309573\times10^{-5}}{7.7566895}=8.134364\times10^{-6}$。$n=3$ 时指数是 $5.8$：$\dfrac{10^{-5.8}}{\Gamma(5.8)}=\dfrac{1.584893\times10^{-6}}{85.621738}=1.851041\times10^{-8}$。

4. 4

   确认尾项可以忽略。 $n=4$ 那项是 $2.58\times10^{-11}$，$n=5$ 那项是 $2.48\times10^{-14}$；每往后一项大约掉两到三个数量级。所以在 $n=3$ 之后截断，精度远远超过六位有效数字：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(1.6n+1)}}{\Gamma(1.6n+1)}=1.765178\times10^{-3}.$

5. 5

   除以 $\Gamma(3/5)$。 取 $\Gamma(0.6)=1.4891922$，$\frac{1.765178\times10^{-3}}{1.4891922}=1.185326\times10^{-3}.$

6. 6

   写出结果。 整个表达式保留六位有效数字是 $0.00118532$；单是 $n=1$ 那一项就已经贡献了其中的 99.5%。