设 f 是可导函数，且 f(3) = 5，f'(3) = 2。若 g 是 f 的反函数，求 g'(5) 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   从反函数的定义出发，而不是从一个记得半清楚的公式出发。 按定义 $g$ 把 $f$ 的作用还原回去，所以对定义域内的每个 $x$ 都有

   $f\bigl(g(x)\bigr)=x.$

   后面的一切都由对这个恒等式求导得到。

2. 2

   两边对 x 求导，左边用链式法则。 左边是复合函数，右边的导数是 $1$：

   $f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=1\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}.$

3. 3

   代入之前先求出内层的值 g(5)。 这一步正是很多人跳过的。因为 $f(3)=5$，两边同时作用 $g$ 得

   $g(5)=3.$

   所以 $f$ 的导数要在 $3$ 处取值，而不是在 $5$ 处。

4. 4

   把两个已知数代进去。

   $g'(5)=\frac{1}{f'(g(5))}=\frac{1}{f'(3)}=\frac{1}{2}.$

5. 5

   解释这个结果。 $f$ 与 $g$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，而对称会把「纵向增量」和「横向增量」互换 —— 于是斜率互为倒数。一个在 $(3,5)$ 处以斜率 $2$ 上升的函数，其反函数就在 $(5,3)$ 处以斜率 $\tfrac12$ 上升。