求 x 在由锥面 x^2 = y^2 + z^2 与抛物面 x = y^2 + z^2 所围立体上的三重积分。

Step-by-step solution

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   利用对称性：两个曲面对 $y$、$z$ 的依赖都只通过 $y^2+z^2$。 令

   $r^2=y^2+z^2$

   于是锥面成了 $x^2=r^2$，抛物面成了 $x=r^2$。这个立体是绕 $x$ 轴的旋转体，所以最自然的坐标是绕这条轴（而不是通常的 $z$ 轴）铺开的柱坐标。

2. 2

   建立这套转过来的柱坐标。 取

   $y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad x=x$

   其中 $r\ge 0$，$0\le\theta\le 2\pi$。雅可比行列式与平常一样，所以

   $dV=r\,dx\,dr\,d\theta$

   漏掉多出来的这个因子 $r$，是这里的经典失误。

3. 3

   找出两个曲面的交线。 所围区域位于 $x\ge 0$ 一侧，在那里锥面就是 $x=r$。令两者相等：

   $r=r^2\qquad\Longrightarrow\qquad r(r-1)=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=0\ \text{ 或 }\ r=1$

   所以这个立体位于 $yz$ 平面上圆盘 $0\le r\le 1$ 的上方，两条曲线交于原点和 $x=1$ 处。

4. 4

   判断哪个曲面是下边界。 当 $0<r<1$ 时有 $r^2<r$，所以抛物面 $x=r^2$ 在锥面 $x=r$ 的左边。于是对固定的 $(r,\theta)$，变量 $x$ 从 $r^2$ 走到 $r$：

   $\iiint_E x\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_{r^2}^{r} x\,r\,dx\,dr\,d\theta$

5. 5

   先对 $x$ 积，再对 $r$ 积。 里层积分是

   $\int_{r^2}^{r}x\,r\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^{r}=\frac{r^3-r^5}{2}$

   接着

   $\int_0^1\frac{r^3-r^5}{2}\,dr=\frac{1}{2}\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$

6. 6

   最后做角度上的积分。 被积函数不含 $\theta$，所以最后一层积分只是乘上一整圈：

   $\int_0^{2\pi}\frac{1}{24}\,d\theta=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$

   $\boxed{\iiint_E x\,dV=\frac{\pi}{12}\approx 0.2618}$

   在同一区域上做数值黎曼和得到 $0.26180$，结果得到确认。由于整个立体上都有 $x\ge 0$，答案为正也在意料之中。