求级数 n/(n+1)! 从 n = 1 到无穷的和。

Step-by-step solution

1. 1

   把分子拆开，让它与下面的阶乘对得上。 难点在于 $n$ 和 $(n+1)!$ 的步调不一致。写成 $n = (n+1) - 1$ 就解决了：

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}$

2. 2

   化简第一块。 因为 $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$，所以因子 $(n+1)$ 可以约掉：

   $\frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}$

   于是通项变成了两个相邻阶乘倒数之差：

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

3. 3

   写出部分和，看中间是怎么相消的。 记 $a_n = \tfrac{1}{n!}$，通项就是 $a_n - a_{n+1}$，因此

   $S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(N+1)!}$

   中间每一项都以一正一负的形式各出现一次。正是这一点让这个级数成为可裂项相消的级数，而不只是「收敛」而已。

4. 4

   取极限。 阶乘的增长比任何幂函数都快，所以 $\frac{1}{(N+1)!} \to 0$，于是

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} = \lim_{N\to\infty} S_N = 1$

5. 5

   用数值粗验一下。 前五项之和是 $\tfrac12 + \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{24} + \tfrac{4}{120} + \tfrac{5}{720} = 0.5 + 0.333333 + 0.125 + 0.033333 + 0.006944 = 0.998611$，而 $1 - \tfrac{1}{6!} = 1 - 0.001389 = 0.998611$ 恰好相等，与 $S_5$ 的闭式完全吻合。