求当 x 趋于无穷时 (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先判断未定式的类型。 当 $x\to\infty$ 时分子分母都无限增大，得到 $\tfrac{\infty}{\infty}$。这不是一个值——它只是告诉你，必须先把式子改写，才能读出极限。

2. 2

   分子分母同除以出现的最高次幂。 两边都是三次的，所以每一项都除以 $x^3$（对充分大的 $x$ 这是合法的，此时 $x\neq 0$）：

   $\frac{5x^{3}-2x+1}{3x^{3}+7}=\frac{5-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{3+\dfrac{7}{x^{3}}}.$

3. 3

   让每个倒数幂趋于零。 对任意 $k>0$，当 $x\to\infty$ 时 $\dfrac{1}{x^{k}}\to 0$，于是那三个小项统统消失：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{5-0+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$

4. 4

   把这道题体现的一般规律说清楚。 对有理函数，只要比较次数：次数相同时极限是最高次项系数之比（这里是 $\tfrac53$），分子次数较低时极限为 $0$，分子次数较高时极限为 $\pm\infty$。低次项 $-2x$、$+1$ 和 $+7$ 从来影响不了答案。

5. 5

   数值检验。 取 $x=10^{6}$，商是

   $\frac{5\cdot 10^{18}-2\cdot 10^{6}+1}{3\cdot 10^{18}+7}=1.6666666\ldots,$

   与 $\tfrac53=1.6\overline{6}$ 在很多位小数上都吻合。