计算从 0 到 1 的积分：ln(x) 除以 (x 的 0.9 次方乘 (1 − x) 的 0.1 次方)，关于 x 积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把被积函数整成 Beta 函数的形状。 改写成

   $I = \int_0^1 x^{-0.9}(1-x)^{-0.1}\ln x\,dx$

   再与

   $B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

   对照。指数配对得 $a - 1 = -0.9$，即 $a = 0.1$；$b - 1 = -0.1$，即 $b = 0.9$。两个指数都大于 $-1$，所以尽管两端有奇点，积分在两端仍然收敛。

2. 2

   对 a 求导，把对数造出来。 在积分号下求导，恰好会带下来一个 $\ln x$：

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\ln x\,dx$

   所以 $I = \left.\partial_a B(a,b)\right|_{a=0.1,\,b=0.9}$。

3. 3

   求导必须求对——陷阱在第三个 Gamma 上。 由 $B(a,b) = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，固定 $b$ 作对数求导得

   $\frac{\partial}{\partial a}B(a,b) = B(a,b)\bigl[\psi(a) - \psi(a+b)\bigr]$

   很容易一看代入点处 $a + b = 1$，就先把 $B$ 写成 $\Gamma(a)\Gamma(b)$ 再求导——但 $a$ 变动时 $a+b$ 并不是常数，丢掉 $\Gamma(a+b)$ 就等于把整个 $-\psi(a+b)$ 项丢掉了。

4. 4

   用反射公式算出 Beta 的值。 在 $a = 0.1$、$b = 0.9$ 处确实有 $a + b = 1$，于是 $\Gamma(a+b) = \Gamma(1) = 1$，从而

   $B(0.1, 0.9) = \Gamma(0.1)\Gamma(0.9) = \frac{\pi}{\sin(0.1\pi)} = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)} \approx 10.16640$

5. 5

   拼出 digamma 那个因子。 用 $\psi(1) = -\gamma$（欧拉-马歇罗尼常数，$\gamma \approx 0.5772157$）以及 $\psi(0.1) \approx -10.4237549$：

   $\psi(0.1) - \psi(1) = -10.4237549 + 0.5772157 = -9.8465392$

   于是

   $I = \frac{\pi}{\sin(\pi/10)}\bigl(\psi(0.1) + \gamma\bigr)$

6. 6

   算出数值并验证。

   $I \approx 10.1664075 \times (-9.8465392) \approx -100.10393$

   再做一次独立的数值积分——在 $0$ 附近换元 $x = u^{10}$、在 $1$ 附近换元 $x = 1 - v^{10}$ 以驯服两端的奇点，然后用 $300$ 个节点的高斯-勒让德求积——得到 $-100.10393$，与闭形式吻合。（若漏掉 $-\psi(a+b)$ 项，会得到 $-105.97$，偏负约 $6\%$。）结果为负，是因为整个区间上都有 $\ln x < 0$。