判断级数 n 从 1 到无穷的 n/3ⁿ 之和是收敛还是发散，并求出它的和。

Step-by-step solution

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   按通项的形状挑一个判别法。 通项 $a_n = n/3^n$ 把一个多项式因子和一个指数因子混在一起。这类通项的比值化简得极其干净，因为 $3^{n+1}/3^n$ 会塌成一个常数，所以比值判别法是最自然的选择 —— 比较判别法也能用，但得费心挑一个合适的比较级数。

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   作相邻两项之比。 由 $a_n = \dfrac{n}{3^n}$ 和 $a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}}$：

   $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3}$

   各项都是正的，所以加不加绝对值毫无区别。

3. 3

   取极限并套用判别法。 因为 $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$，

   $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{3}$

   由于 $L = \tfrac13 < 1$，比值判别法保证级数绝对收敛。注意那个多项式因子 $n$ 对极限没有任何影响 —— 指数式衰减总是压得住多项式式增长。

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   用差比数列的求和公式算出精确的和。 收敛本身并不给出具体数值，不过这个级数是标准的。把几何级数 $\sum_{n\ge0} r^n = \dfrac{1}{1-r}$ 求导，再乘上 $r$，就得到（当 $|r|<1$ 时）

   $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}$

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   代入 $r = 1/3$。 把 $\dfrac{n}{3^n}$ 写成 $n\left(\dfrac13\right)^{n}$：

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} = \frac{\tfrac13}{\left(1-\tfrac13\right)^2} = \frac{\tfrac13}{\tfrac49} = \frac13\cdot\frac94 = \frac34$

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   做数值粗查。 把前几项加起来是 $0.3333 + 0.2222 + 0.1111 + 0.0494 + 0.0206 + \cdots$，部分和一路爬到 $0.75000$ 就稳住不动了 —— 与精确值 $3/4$ 吻合。