用交换积分次序的方法，计算 x 从 0 到 1、y 从 x 到 √(2 − x²) 的二重积分 ∬ x/√(x² + y²) dy dx。

Step-by-step solution

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   先把区域画出来。 积分限告诉我们 $0\le x\le 1$、$x\le y\le\sqrt{2-x^2}$：区域位于直线 $y=x$ 上方、圆 $x^2+y^2=2$ 内部、直线 $x=1$ 左侧。直线与圆交于 $(1,1)$，所以区域是一块以 $(0,0)$、$(0,\sqrt2)$、$(1,1)$ 为角点的曲边楔形。

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   交换次序时要小心——区域得切成两片。 固定 $y$ 时左边界始终是 $x=0$。当 $0\le y\le 1$ 时右边界是直线 $x=y$；当 $1\le y\le\sqrt2$ 时右边界是圆 $x=\sqrt{2-y^2}$。所以 $I=\int_0^1\!\!\int_0^{y}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy+\int_1^{\sqrt2}\!\!\int_0^{\sqrt{2-y^2}}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy.$ 如果只写一片、让 $x$ 从 $y$ 跑到 $\sqrt{2-y^2}$，描述的其实是 $y=x$ 下方的区域，这正是这类题的经典陷阱。

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   内层积分只需算一次。 令 $u=x^2+y^2$，$du=2x\,dx$，$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}.$

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   分别算这两片。 第一片：$\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{y}=\sqrt2\,y-y$，所以 $\int_0^1(\sqrt2-1)y\,dy=\dfrac{\sqrt2-1}{2}$。第二片：$\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{\sqrt{2-y^2}}=\sqrt2-y$，所以 $\int_1^{\sqrt2}(\sqrt2-y)\,dy=2-\sqrt2-\dfrac12$。

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   加起来。 $I=\frac{\sqrt2-1}{2}+\left(\frac32-\sqrt2\right)=1-\frac{\sqrt2}{2}\approx 0.292893.$

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   用极坐标验证。 令 $x=\rho\cos\theta$，被积函数就只剩 $\cos\theta$，而 $dA=\rho\,d\rho\,d\theta$。在 $\tfrac\pi4\le\theta\le\tfrac\pi2$ 上，约束 $x\le 1$ 是松的（因为 $\sec\theta\ge\sqrt2$），所以 $\rho$ 从 $0$ 跑到 $\sqrt2$：$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\!\!\int_0^{\sqrt2}\cos\theta\,\rho\,d\rho\,d\theta=\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}=1-\frac{\sqrt2}{2}.$