求 9y + 4x 在两条抛物线 y = 4x² − 9 与 y = 9 − 4x² 所围区域上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先求两条抛物线的交点。 令 $4x^2-9 = 9-4x^2$ 得 $8x^2 = 18$，所以 $x = \pm\tfrac{3}{2}$。于是区域横跨 $-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{3}{2}$。

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   写出累次积分。 对每个 $x$，竖直切片从下面那条抛物线一直连到上面那条：

   $\int_{-3/2}^{3/2}\int_{4x^2-9}^{9-4x^2}(9y+4x)\,dy\,dx$

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   别急着硬算，先看对称性。 $D$ 关于两条坐标轴都对称：把 $x \to -x$，区域变回它自己；把 $y \to -y$ 也一样（两条边界曲线正好互换）。

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   把对称性分别用到两项上。 $9y$ 关于 $y$ 是奇函数，而区域在 $y$ 方向对称，所以它积出来是 $0$；$4x$ 关于 $x$ 是奇函数，区域在 $x$ 方向也对称，所以它积出来同样是 $0$。

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   得出结论。 两项都消失了，所以整个积分等于 $0$——一个原函数都不用求。凡是遇到由偶函数界定的区域，动手之前先查一查对称性，永远是划算的。