求 ln((1+x)/(1−x)) 的幂级数近似式。

Step-by-step solution

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   先把商的对数拆开。 不要硬去展开整个商，而是用 $\ln(A/B)=\ln A-\ln B$：$\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x).$ 正是这一步让整道题变得轻松，因为两块都有标准的麦克劳林级数。

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   写下这两个标准级数。 当 $|x|<1$ 时，$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n},$ 而把 $x$ 换成 $-x$ 就得到 $\ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

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   相减，看着偶次项相消。 逐项来看：$x^{2}$ 的贡献分别是 $-\tfrac12 x^{2}$ 和 $-\tfrac12 x^{2}$，相减后抵消；$x^{3}$ 的贡献是 $+\tfrac13 x^{3}$ 和 $-\tfrac13 x^{3}$，相减后互相加强。一般地只有奇次项活了下来，而且每一项都翻倍：$\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$ 只剩奇次项，正是这个函数的对称性所要求的：把 $x$ 换成 $-x$，括号里的分式变成它的倒数，对数随之变号，所以这个函数是奇函数。

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   记下几个实用的截断式。 把级数截断就得到实用的近似：$\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx 2x,\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3},\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}.$ 第一个就是在 $x=0$ 处的线性（切线）近似。

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   给出成立范围并做检验。 两个母级数都要求 $|x|<1$，而那个商本身也只在这个范围内为正，所以展开式在 $|x|<1$ 上成立。在 $x=0.2$ 处做数值检验：精确值是 $\ln(1.2/0.8)=\ln 1.5=0.405465108$，而 $2x+\tfrac23 x^{3}+\tfrac25 x^{5}=0.4+0.005333333+0.000128=0.405461333$——吻合到五位小数，剩下那点微小差距正好由下一项 $\tfrac27 x^{7}=3.66\times10^{-6}$ 解释。

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   说明为什么算对数时更爱用这个形式。 任何正数 $r$ 都能写成 $(1+x)/(1-x)$，其中 $x=(r-1)/(r+1)$；即使 $r$ 离 $1$ 很远，这个 $x$ 也仍然很小。由于这个级数只含奇次项，收敛速度是普通 $\ln(1+x)$ 级数的两倍，所以它是手算高精度对数的经典办法。