求 n 趋于无穷时 (2n − n³)/(12 + n³) 的极限。备选项为：以上都不对、0、5、1。

Step-by-step solution

1. 1

   先看清上下两边的最高次项。 分子分母关于 $n$ 都是三次的：分子的首项是 $-n^{3}$，分母的首项是 $+n^{3}$。次数相同时，极限就等于这两个首项系数之比。

2. 2

   分子分母同除以 n^3。 这一步把上面那句断言变成实打实的推导：

   $\frac{2n-n^{3}}{12+n^{3}}=\frac{\dfrac{2}{n^{2}}-1}{\dfrac{12}{n^{3}}+1}.$

3. 3

   让那些负次幂趋于零。 $\dfrac{2}{n^{2}}\to 0$，$\dfrac{12}{n^{3}}\to 0$，于是只剩

   $\lim_{n\to\infty}\frac{0-1}{0+1}=-1.$

4. 4

   盯住符号——这才是本题的要害。 分子的三次项是负的，所以数列从下方趋近 $-1$，答案是负数。把 $2n-n^{3}$ 看成 $n^3$ 前面是正号，就会得到那个诱人的错误答案 $1$。

5. 5

   回头对照给出的选项。 算出来的 $-1$ 既不是 $0$，也不是 $5$，更不是 $1$。所以正确选择是 A：以上都不对。

6. 6

   做个数值抽查。 取 $n=100$，商是 $\dfrac{200-1000000}{12+1000000}=-0.9998$；取 $n=1000$ 是 $-0.999998$——明显在收敛到 $-1$。