求 ln(3x²) 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   先用对数的链式法则。 对任何可导的内层函数，

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$

   这里 $u=3x^2$，所以导数就是「内层的导数除以内层」——一个公式就够了，用不上乘积法则。

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   求内层的导数。

   $u=3x^2\ \Longrightarrow\ u'=6x$

3. 3

   写成分式再化简。

   $\frac{d}{dx}\ln\left(3x^2\right)=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$

   系数 $3$ 和一个 $x$ 都被约掉了。结果对 $x\neq 0$ 有效，而这也正是 $\ln(3x^2)$ 的定义域。

4. 4

   看看那个 3 为什么注定要消失。 由对数运算律，

   $\ln\left(3x^2\right)=\ln 3+2\ln x$

   它就是一个常数加上 $2\ln x$。常数求导为零，所以导数是 $2\cdot\tfrac1x=\tfrac2x$ —— 与上面吻合，也解释了那一次约分。对数内部任何相乘的常数，对导数来说都是「隐形」的。

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   做个数值检验。 在 $x=2.3$ 处用中心差分得 $0.8695652$，而 $\tfrac{2}{2.3}=0.8695652$ ✓。另外注意导数在 $x>0$ 时为正、$x<0$ 时为负，这与 $\ln(3x^2)$ 那个左右对称的 U 形定义域正好对应。