计算 x 从 −1 到 1 的积分 ∫ 1/x^(2/3) dx。

Step-by-step solution

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   先看出区间内部的奇点。 被积函数 $x^{-2/3}$ 在 $x=0$ 处没有定义，而这个点恰好落在积分区间的内部。直接跨过这个缺口套用微积分基本定理是不成立的；必须把它当成反常积分，在 $0$ 处拆开：

   $\int_{-1}^{1}x^{-2/3}dx=\int_{-1}^{0}x^{-2/3}dx+\int_{0}^{1}x^{-2/3}dx$

2. 2

   求原函数。 用幂函数积分公式，$p=-\tfrac23$，于是 $p+1=\tfrac13$：

   $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

   实立方根 $x^{1/3}$ 对负数同样有定义，所以这一个式子对左右两半都适用。

3. 3

   左半边用极限求值。

   $\lim_{a\to 0^{-}}\left[3x^{1/3}\right]_{-1}^{a}=\lim_{a\to 0^{-}}\left(3a^{1/3}-3(-1)^{1/3}\right)=0+3=3$

   这里用到 $(-1)^{1/3}=-1$。极限之所以有限，是因为 $x^{1/3}\to 0$ 而不是趋于 $\infty$：被积函数不连续的地方，原函数反而是连续的。

4. 4

   右半边同样处理。

   $\lim_{b\to 0^{+}}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1}=\lim_{b\to 0^{+}}\left(3-3b^{1/3}\right)=3$

5. 5

   把两个收敛的半边相加。

   $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2/3}}dx=3+3=6$

   尽管被积函数是无界的，积分照样收敛——$0$ 处那根尖峰太窄了，围不出无穷大的面积。

6. 6

   和一般判别法对照一下。 在 $0$ 附近，$\int_{0}^{1}x^{-p}dx$ 收敛当且仅当 $p<1$。这里 $p=\tfrac23<1$，所以收敛是可以预料到的；若指数换成 $x^{-4/3}$（即 $p=\tfrac43>1$），两半就都发散了。被积函数的对称性也解释了为什么两半算出来都是 $3$。