计算 x 从 −2 到 2 的定积分，被积函数是 (x³cos(x/2) + 1/2) 乘以 √(4 − x²)。

Step-by-step solution

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   别急着找原函数，先把积分拆开。 因子 $x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}$ 没有初等原函数，换元也好、分部也好，都注定走不通。既然积分区间关于 $0$ 对称，那就改成拆项：

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

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   用奇偶性判断第一部分。 $x^{3}$ 是奇函数，$\cos\frac{x}{2}$ 是偶函数，$\sqrt{4-x^{2}}$ 也是偶函数。奇 $\times$ 偶 $\times$ 偶还是奇，所以整个被积函数满足 $f(-x)=-f(x)$。奇函数在对称区间上的积分必为零，因为 $[-2,0]$ 上的有向面积恰好抵消 $[0,2]$ 上的：

   $\int_{-2}^{2}x^{3}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0.$

   这正是这道题的全部用意 —— 那个看着吓人的项其实是个幌子。

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   认出第二部分是一个半圆。 曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 等价于 $x^{2}+y^{2}=4$ 且 $y\ge 0$，也就是半径为 $2$ 的圆的上半部分。所以这个积分是一块几何面积，根本不用去求原函数：

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi.$

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   合起来。 把半圆面积乘上常数 $\tfrac12$，再加上那个已经消失的奇函数部分：

   $\int_{-2}^{2}\left(x^{3}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^{2}}\,dx=0+\frac{1}{2}(2\pi)=\pi.$

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   数值检验。 在 $[-2,2]$ 上用复化辛普森公式算整个被积函数，得到 $3.1415926$；单独算奇函数那一部分，得到 $2\times10^{-16}$。这既确认了精确值 $\pi\approx 3.14159$，也确认了抵消的论证。