求当 x 趋于 0 时 (sin 3x − 3 sin x)/x³ 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   确认不定式类型，并决定展开到几阶。 在 $x=0$ 处分子为 $\sin 0-3\sin 0=0$，分母也为 $0$，所以这是 $0/0$ 型。因为分母是 $x^{3}$，分子必须展开到 $x^{3}$ 阶——只展开到一阶，只能看出首项相消，看不出极限值。

2. 2

   把 $\sin 3x$ 展开到三阶。 由 $\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$，取 $u=3x$，

   $\sin 3x=3x-\frac{27x^{3}}{6}+O(x^{5})=3x-\frac{9}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

   $3$ 被立方，使得这一项比 $\sin x$ 中对应的项大了九倍——这种不对称正是答案的全部来源。

3. 3

   把 $3\sin x$ 展开到同一阶。

   $3\sin x=3\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+O(x^{5})=3x-\frac{1}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

4. 4

   相减。 正如 $0/0$ 型所预示的，$3x$ 项精确抵消：

   $\sin 3x-3\sin x=\left(-\frac92+\frac12\right)x^{3}+O(x^{5})=-4x^{3}+O(x^{5}).$

5. 5

   相除并取极限。

   $\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^{3}}=-4+O(x^{2})\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;-4.$

   直接在 $x=10^{-3}$ 处算这个商得 $-3.999998$，在 $x=10^{-4}$ 处得 $-3.99999998$，正按预言的 $O(x^{2})$ 速度从上方逼近 $-4$。