求 x·e^(−x²) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先想清楚这题为什么算得出来。 与之只差一点的 $\int e^{-x^2}dx$ 没有初等原函数。多出来的那个因子 $x$ 让一切都不同了：它（相差一个常数）正是指数部分的导数，所以这个积分纯粹是一次换元。看出这个区别，就是本题的全部关键。

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   选定换元。 令

   $u=-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$

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   把积分整个改写成 $u$ 的形式。 原式中的 $x\,dx$ 被整体替换掉，一点 $x$ 都没有剩下：

   $\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=\int e^{u}\left(-\tfrac12\,du\right)=-\tfrac12\int e^{u}\,du$

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   积分后回代。

   $-\tfrac12 e^{u}+C=-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C$

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   求导检验。 按链式法则，

   $\frac{d}{dx}\left(-\tfrac12 e^{-x^{2}}\right)=-\tfrac12 e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x\,e^{-x^{2}}$

   正是原来的被积函数 ✓。在 $x=1.3$ 处做一次数值抽查：$-\tfrac12 e^{-x^2}$ 的对称差商是 $0.2398754$，而 $x e^{-x^2}=0.2398754$ ✓。

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   顺便看看定积分版本。 取上下限 $a$ 到 $b$，结果是 $\tfrac12\left(e^{-a^2}-e^{-b^2}\right)$；特别地 $\int_0^{\infty}x e^{-x^2}dx=\tfrac12$。