求 f(x) = x^2/2 + cos 5x 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   把和式拆开。 求导具有线性，所以可以分别处理 $\dfrac{x^2}{2}$ 和 $\cos 5x$，最后把结果相加。

2. 2

   对二次项求导。 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{2x}{2}=x$。

3. 3

   用链式法则对余弦项求导。 内层函数是 $u=5x$，其导数为 $5$。又因为 $\dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u$，所以 $\frac{d}{dx}\cos 5x=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin 5x.$ 漏掉内层因子 $5$ —— 或者把负号丢了 —— 是这里常见的错误。

4. 4

   把两部分合起来。 $f\'(x)=x-5\sin 5x.$

5. 5

   数值验证。 在 $x=0.7$ 处，公式给出 $0.7-5\sin 3.5=0.7-5(-0.3507832)=2.453916$，而 $f$ 在 $x=0.7$ 处的中心差商与之六位小数吻合。